피보나치 수 3

https://www.acmicpc.net/problem/2749

시간 제한	메모리 제한	제출	정답	맞힌 사람	정답 비율
1 초	128 MB	25212	8423	6821	39.244%

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다.

0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다.

그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1000

예제 출력 1

228875

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱

---

문제 해결을 위한 지식

1. 모듈러 산술 : https://sskl660.tistory.com/75

모듈러 연산의 분배 법칙을 사용 (덧셈)

---

2. 피사노의 주기 : https://comyoung.tistory.com/236

피사노 주기(Pisano period)

– 개념 : 피보나치 수를 어떤 수 K로 나눌 때, 나머지는 항상 주기를 가지게 되는데 이를 피사노 주기라고 한다.

 ex) 피보나치 수를 3으로 나누었을때, 주기의 길이는 8

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610
PP	0	1	1	2	0	2	2	1	0	1	1	2	0	2	2	1

– 성질 : 주기의 길이를 P라고 하면 N번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지는

     N%P번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지와 같다.

     주기는 M = 10^k (k>2)일때, 항상 15 * 10^(k-1)이다.

=> 해당 문제에서 M = 1,000,000 / K = 6 => 주기는 15 * (10 ^ 5) = 1,500,000

n = 1 결과와 1,500,001의 결과가 같다.

---

통과된 코드

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

constexpr auto MN = 1000000;

string N = "";

int arr[3];

int ModFibonacci(string N)
{	
	// unsigned long long의 범위 0 ~ 18,446,744,073,709,551,615
	// N의 최대 1,000,000,000,000,000,000
	unsigned long long tempN = stoull(N); // string -> unsigned long long 변환
	tempN = tempN % 1500000; // 피사노의 주기 1,500,000

	arr[0] = 0;
	arr[1] = 1;
	arr[2] = 0;

	if (tempN == 0) { return arr[0]; }
	else if (tempN == 1) { return arr[1]; }

	for (unsigned long long i = 2; i <= tempN; i++) {
		arr[2] = (arr[1] % MN + arr[0] % MN) % MN; //
		arr[0] = arr[1];
		arr[1] = arr[2];
	}

	return arr[2];
}

int main()
{
	cin >> N;
	cout << ModFibonacci(N);
	return 0;
}

N = 1,000,000,000,000,000,000 (최대 값) 이면 연산에 엄청난 시간이 소모되어 해결법을 찾으려 많은 고민을 했다.

피사노의 주기가 문제 해결의 포인트

https://www.acmicpc.net/problem/9471 <- 백준 피사노의 주기 문제

https://www.acmicpc.net/blog/view/28 <- 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법