https://www.acmicpc.net/problem/11444

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다.

그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1000

예제 출력 1

517691607

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱

문제를 그대로 구현한 코드

답은 정확하게 나오지만 N의 크기가 증가하면 증가할 수록 연산량이 증가하여 시간초과 결과가 나오는 것은 당연하다.

#include <iostream>

using namespace std;

long long int N, t1, t2, t3;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

	cin >> N;
    t1 = 0;
    t2 = 1;
    t3 = 1;

	if (N == 0) cout << t1;
	else if (N == 1) cout << t2;
	else if (N == 2) cout << t3;
    else 
    {
        for (int i = 2; i < N; i++)
        {
            t1 = t2 % 1000000007;
            t2 = t3 % 1000000007;
            t3 = (t1 + t2) % 1000000007;
        }
    }

	cout << t3 << endl;
    return 0;
}

피보나치 수를 더 좋은 방법으로 해결하는 방법은 아래 링크에 자세하게 설명되어 있다.

https://www.acmicpc.net/blog/view/28

위의 게시글의 내용을 살펴보면 2가지로 문제를 해결하고 있다.

통과된 코드

메모이제이션, 홀수/짝수를 이용한 풀이법을 적용한 코드

#include <iostream>
#include <map>

using namespace std;

map<long long, long long> d; // 메모이제이션을 위한 map
const long long mod = 1000000007; 

// 피보나치 수를 재귀적으로 계산하는 함수
long long Fibonacci_recursive(long long n) {
    if (n <= 0) {
        return 0;
    }
    else if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    else if (d.count(n) > 0) {
        return d[n];
    }
    else {
        // n이 홀수
        if (n % 2 == 1) {
            long long m = (n + 1) / 2;
            long long t1 = Fibonacci_recursive(m);
            long long t2 = Fibonacci_recursive(m - 1);
            d[n] = t1 * t1 + t2 * t2;
            d[n] %= mod;
            return d[n];
        }
        else { // n이 짝수
            long long m = n / 2;
            long long t1 = Fibonacci_recursive(m - 1);
            long long t2 = Fibonacci_recursive(m);
            d[n] = (2LL * t1 + t2) * t2;
            d[n] %= mod;
            return d[n];
        }
    }
}

int main() {
    long long n;
    cin >> n; // 입력값 받기
    cout << Fibonacci_recursive(n) << '\n'; // n번째 피보나치 수 출력
    return 0;
}

개인적으로 이런 수학적인 문제는 어느 정도 고민해보다 검색해보는 것이 공부하는 데 더 도움이 되는 것 같다.

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피보나치 함수

https://www.acmicpc.net/problem/1003

문제

다음 소스는 N번째 피보나치 수를 구하는 C++ 함수이다.

int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) {
        printf("0");
        return 0;
    } else if (n == 1) {
        printf("1");
        return 1;
    } else {
        return fibonacci(n‐1) + fibonacci(n‐2);
    }
}

fibonacci(3)을 호출하면 다음과 같은 일이 일어난다.

fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1) (첫 번째 호출)을 호출한다.

fibonacci(2)는 fibonacci(1) (두 번째 호출)과 fibonacci(0)을 호출한다.

두 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고 1을 리턴한다.

fibonacci(0)은 0을 출력하고, 0을 리턴한다.

fibonacci(2)는 fibonacci(1)과 fibonacci(0)의 결과를 얻고, 1을 리턴한다.

첫 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고, 1을 리턴한다.

fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1)의 결과를 얻고, 2를 리턴한다.

1은 2번 출력되고, 0은 1번 출력된다. N이 주어졌을 때, fibonacci(N)을 호출했을 때,

0과 1이 각각 몇 번 출력되는지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, N이 주어진다. N은 40보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

각 테스트 케이스마다 0이 출력되는 횟수와 1이 출력되는 횟수를 공백으로 구분해서 출력한다.

예제 입력 1

3
0
1
3

예제 출력 1

1 0
0 1
1 2

예제 입력 2

2
6
22

예제 출력 2

5 8
10946 17711

출처

• 문제를 번역한 사람: baekjoon
• 데이터를 추가한 사람: connotation, doju, wonrok97
• 어색한 표현을 찾은 사람: cyj101366

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

테스트 코드

1 – 10 까지 확인

#include <iostream>

using namespace std;

int T, N, Zero, One;

int fibonacci(int n) {

	if (n == 0) {
		Zero++;
		return 0;
	} 
	else if (n == 1) {
		One++;
		return 1;
	}
	else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

int main()
{
	cin >> T;
	for (int i = 0; i < T; i++) {
		cin >> N;
		Zero = 0;
		One = 0;
		fibonacci(N);
		cout << Zero << " " << One << "\n";
	}

	return 0;
}

arrZero[0] = 1, arrZero[1] = 0, arrZero[2] = 1 / arrZero[N] = arrZero[N-1] + arrZero[N-2]

arrOne[0] = 0, arrOne[1] = 1, arrOne[2] = 1 / arrOne[N] = arrOne[N-1] + arrOne[N-2] 점화식을 발견

N = 0 일때 arrZero[0] 를 생각해야 한다. (생각을 못해 12%에서 틀렸습니다.)

통과된 코드

#include <iostream>
#include <list>

using namespace std;

int T, N, Zero, One;

long long int arrZero[41] = {1, 0, 1}; // 초기화
long long int arrOne[41] = {0, 1, 1}; // 초기화

list<int> myList;

int main()
{
	cin >> T;

	for (int i = 0; i < T; i++) {
		cin >> N;
		myList.push_back(N);
	}

	for (auto it = myList.begin(); it != myList.end(); it++) {
		for (int i = 3; i <= *it; i++) {
			if (arrZero[i] == 0) arrZero[i] = arrZero[i - 1] + arrZero[i - 2];
			if (arrOne[i] == 0) arrOne[i] = arrOne[i - 1] + arrOne[i - 2];
		}

		cout << arrZero[*it] << " " << arrOne[*it] << "\n";
	}

	return 0;
}

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2×n 타일링

https://www.acmicpc.net/problem/11726

문제

2×n 크기의 직사각형을 1×2, 2×1 타일로 채우는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

아래 그림은 2×5 크기의 직사각형을 채운 한 가지 방법의 예이다.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. (1 ≤ n ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 2×n 크기의 직사각형을 채우는 방법의 수를 10,007로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

2

예제 출력 1

2

예제 입력 2

9

예제 출력 2

55

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

접근 방법

N =1 부터 나올 수 있는 경우를 체크했다.

그림을 그리면서 확인해본 결과

N = 3이라면 N = 1과 N = 2가 합쳐진 경우다.

통과된 코드

#include <iostream>

using namespace std;

constexpr int MOD = 10007;
					
long long int arr[1001];

int main()
{
	// Tabulation: Bottom Up 방식

	long long int N = 0;

	cin >> N;

	arr[1] = 1, arr[2] = 2;

	for (int  i = 3; i <= N; i++) {
		arr[i] = ( arr[i - 1] % MOD + arr[i - 2] % MOD) % MOD;
	}

	cout << arr[N];

	return 0;
}

틀린 이유는 모듈러 연산에서 괄호를 잘못 묶었다.

테스트 케이스 통과해서 좋다고 제출 했는데 틀렸다고 해서 당황

테스트 케이스는 나머지 연산이 의미가 없어서 결과가 잘나오니…

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피사노 주기

https://www.acmicpc.net/problem/9471

문제

1960년, IBM의 직원 Donald Wall은 피보나치 수열을 m으로 나눈 나머지가 주기를 이룬다는 것을 증명했다.

예를 들어, 피보나치 수열의 처음 10개를 11로 나눈 예는 다음과 같다.

나머지를 이용해서 만든 수열은 주기가 나타날 수 있다.

k(m)을 반복하는 부분 수열의 길이라고 했을 때, k(11) = 10임을 알 수 있다.

Wall은 아래와 같은 여러 가지 성질도 증명했다.

m이 주어졌을 때, k(m)을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 P가 주어진다.

각 테스트 케이스는 N과 M으로 이루어져 있다.

N은 테스트 케이스의 번호이고, M은 문제에서 설명한 m이다.

출력

각 테스트 케이스마다 테스트 케이스 번호를 출력하고 k(M)을 출력한다.

제한

예제 입력 1

5
1 4
2 5
3 11
4 123456
5 987654

예제 출력 1

1 6
2 20
3 10
4 15456
5 332808

출처

ICPC > Regionals > North America > Greater New York Region > 2013 Greater New York Programming Contest D번

• 문제를 번역한 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학
• 정수론

처음 문제를 확인하고 증명이 있어 이걸 이용하여 문제의 답을 찾는 것인가 생각했다.

해당 식들을 구현하면서 이건 아닌 것 같다고 생각했고 다른 블로그를 보면서

이러한 문제는 어떤 식으로 접근하는지 확인하였다.

포인트는 피사노 주기는 피보나치수열을 M으로 나눴을 때 이 나머지가 규칙성을 가지고 반복된다는 것

피보나치수열은 F(0) = 0, F(1) = 1 … 나눌 숫자 M >= 2 조건이므로

이후의 연산에서 나머지가 0, 1 순서로 나온다면 주기가 반복된다는 뜻이다.

피보나치수열을 M으로 나누어주고 나머지가 0 과 1이 순서대로 나올 때 까지 반복해주면서

주기를 카운트 하면 문제를 해결 할 수 있다.

참고 : https://en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period <- 피사노의 주기 위키

통과된 코드

#include <iostream>
#include <list>

using namespace std;

list<pair<int, int>> tcList;
list<pair<int, int>> resultList;

// 문제의 입력을 처리하는 함수
void GetInput()
{
	int N;
	cin >> N;
	pair<int, int> tempPair;
	while (N-- > 0) {
		cin >> tempPair.first >> tempPair.second;
		tcList.push_back(tempPair);
	}
}

// 피사노의 주기를 확인하는 함수
int PeriodOfPisano(int tc)
{
	int a = 0, b = 1, cnt = 0, temp =0;

	// 주기가 나올때까지 반복해준다.
	while (true)
	{
		// 모듈러 산술 분배법칙
		temp = ((a % tc) + (b % tc)) % tc;
		a = b;
		b = temp;
		cnt++; // 주기가 얼마인지 체크

		// 나머지로 나눈 값이 처음과 같은 0과 1의 순서로 나온다면, 다시 주기가 반복된다는 뜻
		// (F2 = F1 + F0 , 나머지도 계속 반복을 하게 된다.)
		if (a == 0 && b == 1) break; 
	}

	return cnt; // 주기 리턴
}

int main()
{
	GetInput(); // 입력 받기
	
	// 테스트 케이스만큼 순회 
	for (auto iter = tcList.begin(); iter != tcList.end(); iter++) { // 결과값 출력
		cout << iter->first << " " << PeriodOfPisano(iter->second) << "\n"; 
	}

	return 0;
}

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피보나치 수 3

https://www.acmicpc.net/problem/2749

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다.

0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다.

그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1000

예제 출력 1

228875

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱

문제 해결을 위한 지식

1. 모듈러 산술 : https://sskl660.tistory.com/75

모듈러 연산의 분배 법칙을 사용 (덧셈)

2. 피사노의 주기 : https://comyoung.tistory.com/236

피사노 주기(Pisano period)

– 개념 : 피보나치 수를 어떤 수 K로 나눌 때, 나머지는 항상 주기를 가지게 되는데 이를 피사노 주기라고 한다.

 ex) 피보나치 수를 3으로 나누었을때, 주기의 길이는 8

– 성질 : 주기의 길이를 P라고 하면 N번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지는

     N%P번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지와 같다.

     주기는 M = 10^k (k>2)일때, 항상 15 * 10^(k-1)이다.

=> 해당 문제에서 M = 1,000,000 / K = 6 => 주기는 15 * (10 ^ 5) = 1,500,000

n = 1 결과와 1,500,001의 결과가 같다.

통과된 코드

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

constexpr auto MN = 1000000;

string N = "";

int arr[3];

int ModFibonacci(string N)
{	
	// unsigned long long의 범위 0 ~ 18,446,744,073,709,551,615
	// N의 최대 1,000,000,000,000,000,000
	unsigned long long tempN = stoull(N); // string -> unsigned long long 변환
	tempN = tempN % 1500000; // 피사노의 주기 1,500,000

	arr[0] = 0;
	arr[1] = 1;
	arr[2] = 0;

	if (tempN == 0) { return arr[0]; }
	else if (tempN == 1) { return arr[1]; }

	for (unsigned long long i = 2; i <= tempN; i++) {
		arr[2] = (arr[1] % MN + arr[0] % MN) % MN; //
		arr[0] = arr[1];
		arr[1] = arr[2];
	}

	return arr[2];
}

int main()
{
	cin >> N;
	cout << ModFibonacci(N);
	return 0;
}

N = 1,000,000,000,000,000,000 (최대 값) 이면 연산에 엄청난 시간이 소모되어 해결법을 찾으려 많은 고민을 했다.

피사노의 주기가 문제 해결의 포인트

https://www.acmicpc.net/problem/9471 <- 백준 피사노의 주기 문제

https://www.acmicpc.net/blog/view/28 <- 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법

The post 백준 2749번 (피보나치 수 3, C++) [BAEKJOON] appeared first on 어제와 내일의 나 그 사이의 이야기.

피보나치 수 2

https://www.acmicpc.net/problem/10826

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다.

0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다.

그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다.

n은 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

10

예제 출력 1

55

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10870번. 피보나치 수 5

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍
• 임의 정밀도 / 큰 수 연산

n은 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0으로

만약 n이 10,000이라면 결과 값은 아래와 같다.

33644764876431783266621612005107543310302148460680063906564769974680081442166662368155595513633734025582065332680836159373734790483865268263040892463056431887354544369559827491606602099884183933864652731300088830269235673613135117579297437854413752130520504347701602264758318906527890855154366159582987279682987510631200575428783453215515103870818298969791613127856265033195487140214287532698187962046936097879900350962302291026368131493195275630227837628441540360584402572114334961180023091208287046088923962328835461505776583271252546093591128203925285393434620904245248929403901706233888991085841065183173360437470737908552631764325733993712871937587746897479926305837065742830161637408969178426378624212835258112820516370298089332099905707920064367426202389783111470054074998459250360633560933883831923386783056136435351892133279732908133732642652633989763922723407882928177953580570993691049175470808931841056146322338217465637321248226383092103297701648054726243842374862411453093812206564914032751086643394517512161526545361333111314042436854805106765843493523836959653428071768775328348234345557366719731392746273629108210679280784718035329131176778924659089938635459327894523777674406192240337638674004021330343297496902028328145933418826817683893072003634795623117103101291953169794607632737589253530772552375943788434504067715555779056450443016640119462580972216729758615026968443146952034614932291105970676243268515992834709891284706740862008587135016260312071903172086094081298321581077282076353186624611278245537208532365305775956430072517744315051539600905168603220349163222640885248852433158051534849622434848299380905070483482449327453732624567755879089187190803662058009594743150052402532709746995318770724376825907419939632265984147498193609285223945039707165443156421328157688908058783183404917434556270520223564846495196112460268313970975069382648706613264507665074611512677522748621598642530711298441182622661057163515069260029861704945425047491378115154139941550671256271197133252763631939606902895650288268608362241082050562430701794976171121233066073310059947366875

연산중에 오버플로가 발생하며

재귀로 접근하면 시간 초과 문제가 생긴다.

따라서 string을 이용한 덧셈 연산 / DP를 사용해야 한다.

(전에 풀었던 아래의 두 문제를 조합하여 해결했다. )

통과된 코드

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int N;

string arr[10001];

// 두 문자열을 더해주는 함수
string SumString(string strA, string strB)
{
	string tempStr;

	// 두 문자열 중에서 가장 높은 인덱스 길이 찾음
	int maxLength = strA.length() > strB.length() ? strA.length() : strB.length();

	// 문자열을 뒤집어 준다.
	reverse(strA.begin(), strA.end()); 
	reverse(strB.begin(), strB.end());

	// 뒤집은 두 문자열의 인덱스를 맞추어 준다.
	for (int i = strA.length(); i < maxLength; i++) { strA.push_back('0'); }
	for (int i = strB.length(); i < maxLength; i++) { strB.push_back('0'); }

	int tempOne, tempTwo, tempThree;
	int up = 0; 

	// 같은 인덱스의 char를 int로 변환하고 서로 더 해준다.
	// 만약 up 변수로 올림 처리를 해준다.
	for (int i = 0; i < maxLength; i++) {
		tempOne = 0;
		tempTwo = 0;
		if (i <= strA.length()) { tempOne = strA[i] - '0'; } // char => int
		if (i <= strB.length()) { tempTwo = strB[i] - '0'; } // char => int
		tempThree = tempOne + tempTwo + up;
		up = 0;

		if (tempThree >= 10) {
			tempThree -= 10;
			up += 1; // 올림처리
		}

		tempStr.push_back(tempThree + '0'); // int => char
	}

	if (up >= 1) { tempStr.push_back('1'); } // 올림이 남아있다면
	reverse(tempStr.begin(), tempStr.end()); // 더한 값을 뒤집어 준다.
	return tempStr;
}

string FibonacciDP(int N)
{
	arr[0] = "0";
	arr[1] = "1";

	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		arr[i] = SumString(arr[i - 1], arr[i - 2]);
	}

	return arr[N];
}

int main()
{
	cin >> N;
	cout << FibonacciDP(N);
	return 0;
}

arr의 범위를 10,000으로 설정하여 런타임 에러가 발생했음.

전에 풀었던 문제의 코드들을 조합해서 해결해서 크게 어렵지 않았다.

https://www.acmicpc.net/blog/view/28 <- 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법

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피보나치 수 2

https://www.acmicpc.net/problem/2748

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다.

그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다.

n은 90보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

10

예제 출력 1

55

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍

전에 풀었던 문제를 참고하여 접근했습니다. (DP 방법)

주의 사항

n은 90보다 작거나 같은 자연수

int로 값을 처리하면 오버플로우가 발생합니다.

그래서 long long int로 처리해 주었습니다.

전의 문제와 약간의 차이가 있는 부분은 0번째 항부터 시작한다는 것입니다.

통과된 코드

#include <iostream>

using namespace std;

int N;

// N이 90일 경우 int로 처리하면 
// 21억을 넘어가서 오버플로우가 발생한다. 
long long int arr[91];

long long int FibonacciDP(int N)
{
	arr[0] = 0;
	arr[1] = 1;

	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
	}

	return arr[N];
}

int main()
{
	cin >> N;
	cout << FibonacciDP(N);
	return 0;
}

위의 코드로 백준 2747, 10870번 문제도 통과가 가능합니다. (N의 범위 차이만 있음)

https://www.acmicpc.net/blog/view/28 <- 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법

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알고리즘 수업 – 피보나치 수 1

https://www.acmicpc.net/problem/24416

문제

오늘도 서준이는 동적 프로그래밍 수업 조교를 하고 있다. 

아빠가 수업한 내용을 학생들이 잘 이해했는지 문제를 통해서 확인해보자.

오늘은 n의 피보나치 수를 재귀호출과 동적 프로그래밍으로 구하는 알고리즘을 배웠다.

재귀호출에 비해 동적 프로그래밍이 얼마나 빠른지 확인해 보자.

아래 의사 코드를 이용하여 n의 피보나치 수를 구할 경우 코드1 코드2 실행 횟수를 출력하자.

피보나치 수 재귀호출 의사 코드는 다음과 같다.

fib(n) {
    if (n = 1 or n = 2)
    then return 1;  # 코드1
    else return (fib(n - 1) + fib(n - 2));
}

피보나치 수 동적 프로그래밍 의사 코드는 다음과 같다.

fibonacci(n) {
    f[1] <- f[2] <- 1;
    for i <- 3 to n
        f[i] <- f[i - 1] + f[i - 2];  # 코드2
    return f[n];
}

입력

첫째 줄에 n(5 ≤ n ≤ 40)이 주어진다.

출력

코드1 코드2 실행 횟수를 한 줄에 출력한다.

예제 입력 1

5

예제 출력 1

5 3

예제 입력 2

30

예제 출력 2

832040 28

출처

• 문제를 검수한 사람: chansol, jhnah917, jinhan814, jthis, parkky, sait2000, tony9402
• 문제를 만든 사람: MenOfPassion

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%EB%B3%B4%EB%82%98%EC%B9%98_%EC%88%98 <- 피보나치 수 설명

다이나믹 프로그래밍 기초

처음에 문제를 보고 피보나치 수가 생각이 안 나서 당황했고 의사 코드가 뭔지 몰라서 난감했던 문제

피보나치 수와 관련된 의사 코드가 2개 주어진다. (재귀 호출 / 동적 프로그래밍) <- 의사 코드를 보고 구현

n의 피보나치 수를 구할 때 재귀 호출과 동적 프로그래밍이 실행되는 횟수를 구하는 문제

재귀 호출을 카운트할 때 위치에 주의

통과된 코드

#include <iostream>

using namespace std;

int N, cntOne, cntTwo;
int arr[41];

/*
fib(n) {
	if (n = 1 or n = 2)
	then return 1;  # 코드1
	else return (fib(n - 1) + fib(n - 2));
}
*/
int FibonacciRecursive(int N) // 재귀 호출 방법
{
	if (N == 1 || N == 2) { 
		cntOne++; // 카운트
		return 1; 
	}
	else { 
		return FibonacciRecursive(N - 1) + FibonacciRecursive(N - 2); 
	}
}

/*
fibonacci(n) {
	f[1] <- f[2] <- 1;
	for i <- 3 to n
		f[i] <- f[i - 1] + f[i - 2];  # 코드2
	return f[n];
}
*/
int FibonacciDP(int N) // 동적 프로그래밍 방법
{
	arr[1] = arr[2] = 1;
	for (int i = 3; i <= N; i++) {
		cntTwo++; // 카운트
		arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
	}

	return arr[N];
}


int main()
{
	cin >> N;
	cntOne = 0;
	cntTwo = 0;
	FibonacciRecursive(N); // 재귀
	FibonacciDP(N); // 동적 프로그래밍
	cout << cntOne << " " << cntTwo;
	return 0;
}

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